Question

当x，y满足不等式组

x+y≥4 x+4≥y x≤4

时，点（4，0）为目标函数z=ax-2y取得最大值时的唯一最优解，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-2]
• B、（-∞，-2）
• C、[-2，+∞）
• D、（-2，+∞）

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目点（4，0）为目标函数z=ax-2y取得最大值时的唯一最优解，讨论目标函数的斜率满足的条件，从而求出a的取值范围．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
则A（4，0）由z=ax-2y得y=

1

2

ax-

1

2

z，即直线的截距最大，z最小．
平移直线y=

1

2

ax-

1

2

z，则直线的截距最大，z最小．
要使点（4，0）为目标函数z=ax-2y取得最大值时的唯一最优解，
则满足：
①当a＜0时，y=

1

2

ax-

1

2

z此时目标函数的斜率

1

2

a≥-1，即-2≤a＜0，
②当a=0时，满足条件，
③当a＞0时，满足条件，
综上a≥-2
故选：C

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．