Question

17．设函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-ax+a，若存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＞1，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，2]
• B． （1，$\frac{e+1}{2}$]
• C． （1，$\frac{2e}{3}$]
• D． （1，2）

Answer 1

分析 把存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＞1，转化为存在唯一的整数x₀，使得$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}-a{x}_{0}+a＞1$，即$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}＞a{x}_{0}-a+1$．令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，h（x）=ax-a+1，求得分析g（x）的单调性，作g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，h（x）=ax-a+1的图象，数形结合得到$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=1-a＜0}\\{a≥\frac{1-（-e）}{2}}\end{array}\right.$，则答案可求．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-ax+a，若存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＞1，
即存在唯一的整数x₀，使得$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}-a{x}_{0}+a＞1$，也就是存在唯一的整数x₀，使得$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}＞a{x}_{0}-a+1$．
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，h（x）=ax-a+1，
∵g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$在（-∞，1]上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
又∵h（x）=ax-a+1是恒过点（1，1）的直线，
∴作g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，h（x）=ax-a+1的图象如下，

则$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=1-a＜0}\\{a≥\frac{1-（-e）}{2}}\end{array}\right.$，即1$＜a≤\frac{e+1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根的存在性及根的个数判断，体现了数形结合的解题思想方法，是压轴题．