Question

8．已知a＞0，b＞0，且$\frac{2}{2+a}+\frac{1}{a+2b}=1$，则a+b的最小值是$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$此时a=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 变形a+b=$\frac{1}{2}$（2+a+a+2b）-1=$\frac{1}{2}$（2+a+a+2b）$（\frac{2}{2+a}+\frac{1}{a+2b}）$-1=$\frac{1}{2}（3+\frac{2（a+2b）}{2+a}+\frac{2+a}{a+2b}）$-1，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：a+b=$\frac{1}{2}$（2+a+a+2b）-1=$\frac{1}{2}$（2+a+a+2b）$（\frac{2}{2+a}+\frac{1}{a+2b}）$-1=$\frac{1}{2}（3+\frac{2（a+2b）}{2+a}+\frac{2+a}{a+2b}）$-1≥$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{\frac{2（a+2b）}{2+a}×\frac{2+a}{a+2b}}）$-1=$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$，当且仅当a=$\sqrt{2}$，b=$\frac{1}{2}$时取等号．
故答案分别为：$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$；$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．