Question

【题目】一次足球邀请赛共安排了支球队参加，每支球队预定的比赛场数分别是，，…，．若任两支球队之间至多安排了一场比赛，则称是一个“有效安排”．证明：若是一个有效安排，且，则可去掉一支球队，并重新调整各队之间的对局情况，使也是一个有效安排．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设预定比赛场的队为．

（1）若的场比赛其对手恰好就是，，…，，则直接去掉（当然，所参与的所有比赛也就被取消了）．于是，剩下的队，，…，之间的比赛，以为有效安排．

（2）若球队，，…，中有些队并未安排与比赛，设在，，…，中自左至右第一支未安排与比赛的队是．

由于要赛场，于是，在，，…，之外必有一支球队安排了与比赛（设为）．

又由于，故必有一支球队，它被安排了与比赛而未安排与比赛，如图所示．

下面对原安排作如下调整：

取消与、与的比赛，改为与、与进行比赛，其他比赛安排不变．

经过这次调整后，所有球队的比赛场数不变，且是一个有效安排．而第一支不与比赛的队的序号至少后移了一个位置，故经有限次这样的调整之后，就变成了情形（1）．

因此，结论得证．