【题目】直线与双曲线
相交于
、
两点,
为坐标原点,且
.
(1)求与
满足的关系;
(2)求证:点到直线
的距离是定值,并求
的最小值.
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【题目】已知抛物线:
的焦点为
,其准线
:
与
轴的交点为
,过点
的直线
与抛物线
交于
两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)点关于
轴的对称点为
,证明:存在实数
,使得
.
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【题目】如图是一旅游景区供游客行走的路线图,假设从进口开始到出口
,每遇到一个岔路口,每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共
名游客结伴到旅游景区游玩,他们从进口
的岔路口就开始选择道路自行游玩,并按箭头所指路线行走,最后到出口
集中,设点
是其中的一个交叉路口点.
(1)求甲经过点的概率;
(2)设这名游客中恰有
名游客都是经过点
,求随机变量
的概率分布和数学期望.
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【题目】一次足球邀请赛共安排了支球队参加,每支球队预定的比赛场数分别是
,
,…,
.若任两支球队之间至多安排了一场比赛,则称
是一个“有效安排”.证明:若
是一个有效安排,且
,则可去掉一支球队,并重新调整各队之间的对局情况,使
也是一个有效安排.
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【题目】古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论,利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点,具体方法如下:(l)取线段AB=2,过点B作AB的垂线,并用圆规在垂线上截取BC=AB,连接AC;(2)以C为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D;(3)以A为圆心,以AD为半径画弧,交AB于点E.则点E即为线段AB的黄金分割点.若在线段AB上随机取一点F,则使得BE≤AF≤AE的概率约为( )(参考数据:
2.236)
A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618
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【题目】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段的长度为a,在线段
上取两个点
,
,使得
,以
为一边在线段
的上方做一个正六边形,然后去掉线段
,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段
作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:
记第个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为
,现给出有关数列
的四个命题:
①数列是等比数列;
②数列是递增数列;
③存在最小的正数,使得对任意的正整数
,都有
;
④存在最大的正数,使得对任意的正整数
,都有
.
其中真命题的序号是________________(请写出所有真命题的序号).
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