【题目】如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口
开始到出口
，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共
名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口集中，设点
是其中的一个交叉路口点.
（1）求甲经过点的概率；
（2）设这名游客中恰有
名游客都是经过点，求随机变量的概率分布和数学期望.
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】
(1) 选择从中间一条路走到
的概率为
.选择从最右边的道路走到点的概率为
.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以
.(2) 随机变量可能的取值
，
，
，
，
，再求出它们对应的概率，即得随机变量
的概率分布和数学期望.
解：（1）设“甲从进口
开始到出口
经过点”为事件
，
甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点的概率为
，这两步事件相互独立，
所以选择从中间一条路走到的概率为.
同理，选择从最右边的道路走到点的概率为.
因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，
所以.
答：甲从进口开始到出口经过点的概率.
（2）随机变量可能的取值，，，，，
则
，
，
，
，
，
概率分布为：
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数学期望
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼的时间/分钟 |
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总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均体育锻炼时间在
的学生评价为“锻炼达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的
列联表；
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少1人是女生的概率.
参考公式：
，其中
.
临界值表
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝
，n＝
，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.
其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知城市
周边有两个小镇
、
，其中乡镇位于城市的正东方
处，乡镇与城市相距
，
与
夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市的公路
，使乡镇和分别位于的两侧，过和建设两条垂直的公路
和
，分别与公路交汇于
、
两点，以为原点，所在直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系
.
（1）当两个交汇点、重合，试确定此时路段长度；
（2）当
，计算此时两个交汇点、到城市的距离之比；
（3）若要求两个交汇点、的距离不超过
，求
正切值的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
.
(1)当a=1时，求函数
在（2，
）处的切线方程:
(2)当a=2时，求函数的单调区间和极值;
(3)若
在
上是单调增函数，求实数a的取值范围.
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