Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，其准线：与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）点关于轴的对称点为，证明:存在实数，使得.

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

（1）根据抛物线的准线为直线：，可求出，进而可得抛物线方程；

（2）先设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，求出直线恒过定点，进而可证明结论成立.

解：（1）因为抛物线：的准线为直线：，

所以，解得.

所以抛物线的方程为.

（2）易知点的坐标为，据此可设直线的方程为，，.

联立整理得，故

因为点关于轴的对称点为，，所以.

则直线的方程为，

得，

得，

即.

令，得，

得.

所以直线恒过定点.

所以点在直线上，所以不妨令.

因为，

所以，

所以，

所以.

所以存在实数，使得，命题得证.