Question

【题目】对于数列：、、、、，若不改变，仅改变、、、中部分项的符号（可以都不改变），得到的新数列称为数列的一个生成数列，如仅改变数列、、、、的第二、三项的符号，可以得到一个生成数列：、、、、.已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和.

（1）写出的所有可能的值；

（2）若生成数列的通项公式为，求；

（3）用数学归纳法证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为.

Answer 1

【答案】（1）、、、；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据生成数列定义，可知当时，，、分别为、中取值，由此给出的所有可能的情况，即可计算出的所有可能值；

（2）利用，分、、三种情况讨论，利用分组求和与等比数列的求和公式即可求得；

（3）利用数学归纳法证明：①当时命题成立；②假设当时，，证明出，结合归纳原理即可证明出结论成立.

（1）由题意得，，

根据生成数列的定义，可得，，

又，，，，

因此，所有可能的取值为、、、；

（2），

当时，；

当时，；

当时，.

综上所述：；

（3）利用数学归纳法证明：

①当时，，命题成立；

②假设当时，命题成立，即所有可能值的集合为.

由假设得.

则当时，.

即或，

即，

当时，命题成立.

由①②知，对于给定的，的所有可能值组成的集合为.