Question

已知函数f（x）=x²-1，设曲线y=f（x）在点（x_n，y_n）处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0），其中x₁为正实数．
（1）用x_n表示x_n+1；
（2）x₁=2，若a_n=lg

xn+1

xn-1

，试证明数列{a_n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}的前n项和S_n=

n(n+1)

2

，记数列{a_n•b_n}的前n项和T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由f（x）=x²-1，求出在曲线上点（x_n，f（x_n））处的切线方程，令y=0，能得到x_n表示x_n+1的表达式．
（2）由（1）得xn+1=

xn2+1

2xn

，由此利用对数的运算法则能推导a_n+1=2a_n，由此证明数列{a_n}为等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由已知条件推导出b_n=n，从而得到anbn=n•2n-1lg3，由此利用错位相减法能求出{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-1，∴f′（x）=2x，
∴在曲线上点（x_n，f（x_n））处的切线方程为y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-(xn2-1)=2x_n（x-x_n），
令y=0，得-（x_n²-1）=2x_n（x_n+1-x_n），
即xn2+1=2xnxn+1，
由题意得x_n≠0，∴xn+1=

xn2+1

2xn

．
（2）xn+1=

xn2+1

2xn

，
∴an+1=lg

xn+1+1

xn+1-1

=lg

xn2+1 2xn +1

xn2+1 2xn -1

=lg

xn2+2xn+1

xn2-2xn+1

=lg

(xn+1)2

(xn-1)2

=2lg

xn+1

xn-1

=2a_n，
即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}为等比数列，
∴an=a1•2n-1=lg

x1+1

x1-1

•2^n-1=2^n-1•lg3．
（3）当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，bn =S_n-S_n-1=

n(n+1)

2

-

n(n-1)

2

=n，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=n，
∴数列{a_nb_n}的通项公式为anbn=n•2n-1lg3，
∴Tn=(1+2×2+3×22+…+n•2n-1)lg3 ①
①×2，得：2Tn=(1×2+3×22+…+n•2n)lg3，②
①-②得-T_n=（1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ）lg3
=（

1-2n

1-2

-n•2ⁿ）lg3
=（2ⁿ-1-n•2ⁿ）lg3，
∴Tn=(n•2n-2n+1)lg3．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，有机地把函数、对数、导数融合为一体，综合性强，难度大，是一道好题．