Question

3．如图，已知四棱锥P-ABCD，ABCD是菱形，三角形APD是等边三角形，E是PD中点
（1）判断PB与平面ACE的关系，并说明理由．
（2）当PB⊥AC时，证明：平面ACE⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于O，则O为BD中点，故而OE∥PB，于是PB∥平面ACE；
（2）由AC⊥BD，AC⊥PB得出AC⊥平面PBD，故而AC⊥PD，结合AE⊥PD得出PD⊥平面ACE，故而平面ACE⊥平面PAD．

解答 解：（1）PB∥平面ACE．
证明：连接BD交AC于O，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴O是BD的中点，又E是PD的中点，
∴OE∥PB．又OE?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（2）∵四边形ABCD的菱形，
∴AC⊥BD．
又AC⊥PB，PB?平面PBD，BD?平面PBD，PB∩BD=B，
∴AC⊥平面PBD，又PD?平面PBD，
∴AC⊥PD．
∵△APD是等边三角形，E是PD中点，
AE⊥PD．
又AC?平面ACE，AE?平面ACE，AC∩AE=A，
∴PD⊥平面ACE，又PD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ACE．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．