Question

13．（1）已知x＞$\frac{3}{2}$，求y=$\frac{1}{2x-3}$+2x-1的最小值；
（2）已知m，n＞0，且$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=1，求t=m+n的最小值．

Answer 1

分析 （1）将函数化为y=$\frac{1}{2x-3}$+（2x-3）+2，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件；
（2）运用乘1法，可得t=m+n=$（m+n）（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）=\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}$+5，再由基本不等式可得最小值，求得等号成立的条件．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2x-3}$+2x-1=$\frac{1}{2x-3}$+（2x-3）+2，
又x＞$\frac{3}{2}$，可得2x-3＞0，
由基本不等式可得y=$\frac{1}{2x-3}$+（2x-3）+2≥2$\sqrt{\frac{1}{2x-3}•（2x-3）}$+2=2+2=4，
当且仅当$\frac{1}{2x-3}$=2x-3时等号成立，
即当x=2时y有最小值4；
（2）由$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=1，可得t=m+n=$（m+n）（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）=\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}$+5，
又m，n＞0，由基本不等式可得t=$\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}+5≥2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$+5=9，
当且仅当$\frac{n}{m}=\frac{4m}{n}$时等号成立，
又$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=1，当m=3，n=6时t有最小值9．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用变形和乘1法，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题．