Question

13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量$\overrightarrow p$=（1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow q$=（cosB，sinB），$\overrightarrow p∥\overrightarrow q$，且bcos C+ccos B=2asin A，则角C等于$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{p}∥\overrightarrow{q}$即可得出$sinB=-\sqrt{3}cosB$，从而tanB=$-\sqrt{3}$，得出B=$\frac{2π}{3}$，而根据正弦定理得出：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，这样带入bcosC+ccosB=2asinA便可得到sinBcosC+sinCcosB=2sin²A，进而得出sinA=2sin²A，这样即可求出sinA，从而求出角A，这样即可求出角C的大小．

解答 解：∵$\overrightarrow{p}∥\overrightarrow{q}$；
∴$1•sinB-（-\sqrt{3}）cosB=0$；
∴$sinB=-\sqrt{3}cosB$；
∴$tanB=-\sqrt{3}$；
∴$B=\frac{2π}{3}$；
由正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入bcosC+ccosB=2asinA整理得：
sinBcosC+sinCcosB=2sin²A；
∴sin（B+C）=sinA=2sin²A；
∴$sinA=\frac{1}{2}$；
∴$A=\frac{π}{6}$；
∴$C=\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 考查平行向量的坐标关系，弦化切公式，已知三角函数值求角，以及两角和的正弦公式，三角函数的诱导公式，正弦定理．