Question

5．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0．
（1）若函数y=f（x）-x有唯一零点，求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（3）当x≥2时，不等式f（x）≥2-a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数定理可得方程ax²-（2a+1）x=0有唯一解，解得即可，
（2）根据二次函数的性质即可判断，
（3）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可

解答 解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x²-2x）
（1）函数y=f（x）-x有唯一零点，即方程ax²-（2a+1）x=0有唯一解，
∴（2a+1）²=0，解得a=-$\frac{1}{2}$
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x                   …（5分）
（2）∵f（x）=a（x²-2x）=a[（x-1）²-1]，x∈[-1，2]…（6分）
若a＞0，则f（x）_max=f（-1）=3a         …（8分）
若a＜0，则f（x）_max=f（1）=-a                   …（10分）
（3）当x≥2时，不等式f（x）≥2-a成立，即：
a≥$\frac{2}{（x-1）^{2}}$在区间[2，+∞），
设g（x）=$\frac{2}{（x-1）^{2}}$，
∵函数g（x）在区间[2，+∞）为减函数，g（x）_max=g（2）=2
当且仅当a≥g（x）_max时，不等式f（x）≥2-a²在区间[2，+∞）上恒成立，
因此a≥2                             …（14分）

点评 本题考查了二次函数的性质，以及函数的最值和恒成立的问题，属于中档题．