Question

5．如图，弧$\widehat{AEC}$是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧$\widehat{AC}$的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=$\sqrt{5}$a，FE=$\sqrt{6}$a．
（Ⅰ）证明：EB⊥FD；
（Ⅱ）已知点R为线段FB上的点，且FR=λFB，求当RD最短时，直线RE和平面BDE所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）欲证EB⊥FD，而FD?平面BFD，可先证BE⊥平面BFD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面BFD内两相交直线垂直，而BE⊥AC，根据线面垂直的性质可知FC⊥BE，又FC、AC?平面BFD，FC∩AC=C，满足定理所需条件；
（2）RD最短时，RD⊥FB，过R做RH⊥平面BDF，∠REH即为RE和平面BDE所成的角，求出$RH=\frac{4}{5}a，RE=\frac{3}{{\sqrt{5}}}a$，所以$sinREH=\frac{{4\sqrt{5}}}{15}$．

解答 （1）证明：∵点E为弧AC的中点
∴∠ABE=$\frac{π}{2}$，即BE⊥AC
又∵FC⊥平面BED，BE?平面BED
∴FC⊥BE
又∵FC、AC?平面BFD，FC∩AC=C
∴BE⊥平面BFD而FD?平面BFD
∴EB⊥FD；
（2）解：RD最短时，RD⊥FB，过R做RH⊥平面BDE，则∠REH即为RE和平面BDE所成的角，
∵$RH=\frac{4}{5}a，RE=\frac{3}{{\sqrt{5}}}a$，∴$sinREH=\frac{{4\sqrt{5}}}{15}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．