Question

13．甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是$\frac{1}{3}$，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束．棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军．设结束时对弈的总局数为X．
（1）设事件A：“X=3且甲获得冠军”，求A的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据题意由X=3且甲获得冠军可得设A₁：甲恰胜2局；A₂：和2局；列式求解．
（2）随机变量X的所有可能和每种可能的概率，得分布列和期望．

解答 解：（1）设A₁：甲恰胜2局；A₂：和2局；
则P（A）=P（A₁∪A₂）=P（A₁）+P（A₂）=$（{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}）×\frac{1}{3}$$+（{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}）×\frac{1}{3}=\frac{8}{27}$
（2）X可能取得值为2，3，4
P（X=2）=$3×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$；
P（X=3）=3×$[{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}]×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$；
P（X=4）=${A}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{2}{9}$
分布列为：

X	2	3	4
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

数学期望：$EX=2×\frac{1}{3}+3×\frac{4}{9}+4×\frac{2}{9}=\frac{26}{9}$．

点评 本题主要考查随机变量的分布列和期望，属于中档题型，在高考中经常涉及．