Question

18．过抛物线x²=4y的焦点F作倾斜角为α的直线交抛物线于P、Q两点，过点P作抛物线的切线l交y轴于点T，过点P作切线l的垂线交y轴于点N，则△PNF为（　　）

• A． 等腰直角三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 设出P点坐标，对抛物线方程进行求导表示出PN和PT的斜率，则直线PN的方程可得，令x=0，求得N点坐标，进而可表示出|NF|，由抛物线定义可知|PF|，推断出|PF|=|NF|，把x=0代入直线l的方程求得T点坐标，表示出
|TF|，进而可知|NF|=|TF|=|PF|．

解答 解：由x²=4y，得焦点F（0，1），设P（x₀，$\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}$），
由y′=$\frac{1}{2}$x，知k_l=${y}^{′}{|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{2}{x}_{0}$，则${k}_{PN}=-\frac{2}{{x}_{0}}$，
直线PN的方程为：y-$\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}$=-$\frac{2}{{x}_{0}}$（x-x₀），
令x=0，得N（0，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+2$），点F（0，1），
则|NF|=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+1$．
由抛物线定义知|PF|=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-（-1）=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+1，
即|PF|=|NF|，
直线l的方程为y-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$（x-x₀），
令x=0，得到${y}_{T}=-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$，∴|TF|=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+1，
故|NF|=|TF|=|PF|．
∴△PNF为等腰三角形．
故选：C．

点评 本题主要考查了抛物线的定义及性质的运用．考查了学生综合分析问题的能力，属中档题．