Question

7．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁B₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁．
（1）求证：CD=C₁D．
（2）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）连接B₁A交BA₁于O，由已知条件推导出△ACD≌△PC₁D，由此能够证明CD=C₁D；
（II）以A₁为坐标原点，以A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在直线建立空间直角坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小．

解答 （Ⅰ）证明：连接B₁A交BA₁于O，
∵PB₁∥平面BDA₁，B₁P?面AB₁P，面AB₁P∩面BA₁D=OD，…（2分）
∴B₁P∥OD，又O为B₁A的中点，
∴D为AP中点，∴C₁为A₁P中点，…（3分）
∴△ACD≌△PC₁D，∴CD=C₁D．…（4分）
（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=$\sqrt{2}$，AB=AC=1，
∴AB⊥AC，…（5分）
以A₁为坐标原点，以A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在直线建立空间直角坐标系如图所示．
由（Ⅰ）知C₁为A₁P中点，
∴A₁（0，0，0），B（1，0，1），D（0，1，$\frac{1}{2}$），P（0，2，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
设平面BA₁D的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{b+\frac{c}{2}=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{1}{2}$，-1）
又$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）为平面AA₁D的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{2}{3}$．
故二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值为$\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 此题重点考查了利用空间向量的方法求点到平面的距离和二面角的大小，还考查了利用方程的思想求解坐标中所设的变量的大小．