Question

2．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，$\frac{c-a}{b-a}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$．
（1）求角C的大小；
（2）求函数f（x）=cos²（x+C）-sin²（x-C）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和余弦定理，即可求角C的大小；
（2）求出函数f（x）的表达式，结合三角函数的单调性即可得到结论．

解答 解：（1）由$\frac{c-a}{b-a}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$．得$\frac{c-a}{b-a}$=$\frac{b}{a+c}$，
即ab=a²+b²-c²，
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
在△ABC中，C=$\frac{π}{3}$．
（2）f（x）=cos²（x+C）-sin²（x-C）=cos²（x+$\frac{π}{3}$）-sin²（x-$\frac{π}{3}$）
=$\frac{1+cos（2x+\frac{2π}{3}）}{2}$-$\frac{1-cos（2x-\frac{2π}{3}）}{2}$=-$\frac{1}{2}$cos2x，
由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
故函数f（x）的递增区间为[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查解三角形的应用，考查三角函数的图象和性质，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．