Question

11．直线l：y=m（m为实常数）与曲线E：y=|lnx|的两个交点A、B的横坐标分别为x₁、x₂，且x₁＜x₂，曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N．有下面4个结论：①|$\overrightarrow{MN}$|=2；②三角形PAB可能为等腰三角形；③若直线l与y轴的交点为Q，则$|{\overrightarrow{PQ}}$|=1；④当x₁是函数g（x）=x²+lnx的零点时，$|{\overrightarrow{AO}}$|（O为坐标原点）取得最小值．
其中正确结论的序号为①③．

Answer 1

分析 ①画出y=m和y=|lnx|的图象，求出切线的斜率，求出交点的坐标M，N，即可得到MN的长，即可判断①；
②通过图象观察分析，两切线垂直，即可判断②；
③求出P的坐标，再求PQ长，即可判断③；
④由零点的定义，求出AO的长，运用函数的性质，即可判断④．

解答 解：对于①，作出函数的图象，由|lnx₁|=|lnx₂|，可得，-lnx₁=lnx₂，
所以x₁x₂=1，且0＜x₁＜1，x₂＞1，故A（x₁，-lnx₁）B（x₂，lnx₂），
在A点处的切线斜率为-$\frac{1}{{x}_{1}}$，在B点处的切线斜率为：$\frac{1}{{x}_{2}}$，
则设M（0，s），N（0，n），
则有$\frac{s+{lnx}_{1}}{-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，解得，s=1-lnx₁，
由$\frac{n-{lnx}_{2}}{-{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{2}}$，解得，n=lnx₂-1，
则有|MN|=1-lnx₁-（lnx₂-1）=2-ln（x₁x₂）=2，故①正确；
对于②，若△PAB为等腰三角形，即PA=PB，或PA=AB，或PB=AB，
若PA=PB，则P在AB的中垂线上，不可能；若PA=AB，易得P的横坐标小于1，不成立；
若PB=AB，则由于-$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=-1，即有PA⊥BP，则不成立，故②错误；
对于③，Q（0，m），由y+lnx₁=1-$\frac{1}{{x}_{1}}$x和y-lnx₂=$\frac{x}{{x}_{2}}$-1，x₁x₂=1，
解得交点P（$\frac{2{x}_{1}}{1+{x}_{1}^{2}}$，1-lnx₁-$\frac{2}{1+{x}_{1}^{2}}$），由于m=lnx₂=-lnx₁，
则有|PQ|=$\sqrt{（\frac{2{x}_{1}}{1+{x}_{1}^{2}}）^{2}+（\frac{{{x}_{1}}^{2}-1}{1+{x}_{1}^{2}}）^{2}}$=1．故③正确；
对于④，当x₁是函数g（x）=x²+lnx的零点时，即有x₁²+lnx₁=0，
|$\overrightarrow{AO}$|=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+（{lnx}_{1}）^{2}}$，则|$\overrightarrow{AO}$|²=${x}_{1}^{2}+{（{lnx}_{1}）}^{2}$=x₁²+x₁⁴，
故不存在x₁∈（0，1），$|{\overrightarrow{AO}}$|（O为坐标原点）取最小值，
故④不正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查导数的几何意义，着重考查曲线在该点处的切线的斜率，两点的距离和点到直线的距离公式及函数的最值的求法，考查转化思想与分析运算、判断求解能力，属于难题．