Question

1．已知四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD的对边互不平行，现用一平面α去截此四棱锥，且要使截面是平行四边形，则这样的平面α（　　）

• A． 有且只有一个
• B． 有四个
• C． 有无数个
• D． 不存在

Answer 1

分析 若要使截面四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形，我们只要证明A₁B₁∥C₁D₁，同时A₁D₁∥B₁C₁即可，根据已知中侧面PAD与侧面PBC相交，侧面PAB与侧面PCD相交，根据面面平行的性质定理，我们易得结论

解答 证明：由侧面PAD与侧面PBC相交，侧面PAB与侧面PCD相交，
设两组相交平面的交线分别为m，n，
由m，n决定的平面为β，
作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为A₁，B₁，C₁，D₁，
则由面面平行的性质定理得：
A₁B₁∥m∥D₁C₁，A₁D₁∥n∥B₁C₁，
从而得截面必为平行四边形．
由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个．
故选：C．

点评 本小题主要考查棱锥的结构特征、面面平行的性质定理等基础知识，考查了转化思想，属于基础题．