Question

12．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²在区间（1，2）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式$\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＜1$恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a≤15
• B． 0＜a≤15
• C． a＞6
• D． a＜-3

Answer 1

分析 首先，不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＜1恒成立，即为$\frac{f（p+1）-p-[f（q+1）-q]}{p-q}$＜0，构造函数g（x）=f（x+1）-x在（1，2）递减，分离参数后，得到a≤2x²+7x+6在（1，2）内恒成立．从而求解得到a的取值范围．

解答 解：∵$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$的几何意义为：
表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（1，2）内，故p+1 和q+1在区间（2，3）内．
不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＜1恒成立，即为$\frac{f（p+1）-p-[f（q+1）-q]}{p-q}$＜0，
∴构造函数g（x）=f（x+1）-x在（1，2）递减，
故函数的导数小于等于0在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-2，
∴g′（x）=$\frac{a}{x+2}$-2（x+1）-1≤0 在（1，2）内恒成立．
即a≤2x²+7x+6在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+7x+6在[1，2]上是单调增函数，
故x=1时，y=2x²+7x+6在[1，2]上取最小值为15，
∴a≤15．
故选：A．

点评 本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题．