已知函数f在区间.[0.$\frac{π}{3}$]上单调递增.在区间[$\frac{π}{3}$.$\frac{2π}{3}$]单调递减,如图.四边形OACB中.a.b.c为△ABC的内角A.B.C的对边.且满足$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{\frac{4ω}{3}-cosB-cosC}{cosA}$．(1)证明:b+c=2a,(2)若b=c.设� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

已知函数f（x）=sinωx（0＜ω＜2）在区间，[0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{\frac{4ω}{3}-cosB-cosC}{cosA}$．
（1）证明：b+c=2a；
（2）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．

分析（1）由题意知 $\frac{2π}{ω}$=$\frac{4π}{3}$，解之可得ω，代入已知条件化简可得sinC+sinB=2sinA，再由正弦定理可得b+c=2a；
（2）由条件和（1）的结论可得△ABC为等边三角形，可得S_OACB=S_△OAB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$OA•OBsinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，可化简为2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，由θ的范围可得结论．

解答证明：（1）由题意知：$\frac{2π}{ω}$=$\frac{4π}{3}$，解得ω=$\frac{3}{2}$ …（2分）
∵$\frac{sinB-sinC}{sinA}$=$\frac{\frac{4ω}{3}-cosA•cosC}{cosA}$，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…（4分）
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a…（6分）
解：（2）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，
S_OACB=S_△OAB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$OA•OBsinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，…（8分）
=sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（OA²+OB²-2OA•OBcosθ）…（9分）
=sinθ-$\sqrt{3}$cosθ+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，…（10分）
∵θ∈（0，π），∴θ-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
当且仅当θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$时取最大值，S_OACB的最大值为2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$…（12分）

点评本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及余弦定理和三角形的面积，属中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

13．甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是$\frac{1}{3}$，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束．棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军．设结束时对弈的总局数为X．
（1）设事件A：“X=3且甲获得冠军”，求A的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

14．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1（a∈R）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性
（Ⅱ）求证：ln2•ln3•ln4•…•lnn＞$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N^*）

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

11．直线l：y=m（m为实常数）与曲线E：y=|lnx|的两个交点A、B的横坐标分别为x₁、x₂，且x₁＜x₂，曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N．有下面4个结论：①|$\overrightarrow{MN}$|=2；②三角形PAB可能为等腰三角形；③若直线l与y轴的交点为Q，则$|{\overrightarrow{PQ}}$|=1；④当x₁是函数g（x）=x²+lnx的零点时，$|{\overrightarrow{AO}}$|（O为坐标原点）取得最小值．
其中正确结论的序号为①③．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

18．已知复数z=$\frac{-1-2i}{{{{（1+i）}^2}}}$，则$\overline z$=（　　）

A．

-$\frac{3}{4}+\frac{1}{4}$i

B．

-$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$i

C．

-1+$\frac{1}{2}$i

D．

-1-$\frac{1}{2}$i

查看答案和解析>>