Question

8．双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为$\sqrt{2}$，双曲线C与抛物线y²=4x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4求得一交点坐标，代入双曲线方程求得λ，则双曲线C的实轴长可求．

解答 解：由题意可知，双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线，
设等轴双曲线C的方程为y²-x²=λ，（1）
抛物线y²=4x，则2p=4，p=2，∴$\frac{p}{2}=1$，
∴抛物线的准线方程为x=-1．
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-1的两个交点A（-1，y），B（-1，-y）（y＞0），
则|AB|=|y-（-y）|=2y=4，∴y=2．
将x=-1，y=2代入（1），得2²-（-1）²=λ，∴λ=3，
∴等轴双曲线C的方程为x²-y²=3，
即$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$，
∴C的实轴长为$2\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．