Question

2．已知直线l：x=-2，圆C：x²+y²=4，动圆P恒与l相切，动圆P与圆C相交于A、B两点，且AB恒为圆C的直径，动圆P圆心的轨迹构成曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）已知Q（-1，0）、F（1，0），过Q的直线m与曲线E交于M、N两点，设直线FM，FN的倾斜角分别为θ₁、θ₂，问θ₁+θ₂是否为定值，如果是定值，求出该定值，如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意，设点P（x，y），|x+2|²=（$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$）²+2²；从而得到曲线E的轨迹方程为y²=4x（x≠0）；
（2）设直线m的方程为y=k（x+1），与y²=4x（x≠0）联立得，k²x²+（2k²-4）+k²=0；再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；从而可得则x₁+x₂=-$\frac{2{k}^{2}-4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1；且tanθ₁=k_FM=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，tanθ₂=k_FN=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$；从而可证tan（θ₁+θ₂）=0，从而解得．

解答 解：（I）由题意，设点P（x，y），
则点P到直线l的距离d=|x+2|=r，
|PC|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$；
|AC|=2；
则|x+2|²=（$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$）²+2²；
故曲线E的轨迹方程为y²=4x（x≠0）；
（II）设直线m的方程为y=k（x+1）；
与y²=4x（x≠0）联立得，
k²x²+（2k²-4）+k²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
则x1+x2=-$\frac{2{k}^{2}-4}{{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=1$；
则tanθ1=${k}_{FM}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$，tan${θ}_{2}={k}_{FN}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$
则tan（θ₁+θ₂）=$\frac{tan{θ}_{1}+tan{θ}_{2}}{1-tan{θ}_{1}tan{θ}_{2}}=\frac{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}}{1-\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}}$
=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-1）+{y}_{2}{（x}_{1}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）-{y}_{1}{y}_{2}}$
其中y₁（x₂-1）+y₂（x₁-1）
=k（x₁+1）（x₂-1）+k（x₂+1）（x₁-1）
=k（x₁x₂-x₁+x₂-1+x₁x₂-x₂+x₁-1）
=k（2x₁x₂-2）
=k（2-2）=0；
故tan（θ₁+θ₂）=0，
又∵θ₁，θ₂是直线的倾斜角，
故θ₁+θ₂=π．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用，在高考中会经常涉及，属于中档题．