Question

6．设函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（1）若f（-1）=0且f（x）≥0在R恒成立，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求使方程f（x）=kx有解的实数k的取值范围；
（3）若b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1，求函数f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（-1）=0，即为1-a+b=0，f（x）≥0在R恒成立，即有判别式a²-4b≤0，运用完全平方可得a=2，b=1，即可得到f（x）的解析式；
（2）方程f（x）=kx有解即为x²+2x+1=kx有解．由判别式（2-k）²-4≥0，解不等式即可得到k的范围；
（3）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[-1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；

解答 解：（1）f（-1）=0，即为1-a+b=0，
f（x）≥0在R恒成立，即有判别式a²-4b≤0，
即有a²-4（a-1）≤0，即（a-2）²≤0，
则a=2，b=1，
则有f（x）=x²+2x+1；
（2）方程f（x）=kx有解即为x²+2x+1=kx有解．
即x²+（2-k）x+1=0有解．
由判别式（2-k）²-4≥0，
解得k≥4或k≤0，
即有实数k的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）；
（3）当b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1时，f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+1，对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
当a≤-2时，函数f（x）在[-1，1]上递减，则g（a）=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2；
当-2＜a≤2时，即有-1≤-$\frac{a}{2}$＜1，则g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=1；
当a＞2时，函数f（x）在[-1，1]上递增，则g（a）=f（-1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+2．
综上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+a+2，a≤-2}\\{1，-2＜a≤2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-a+2，a＞2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，考查不等式的性质和分类讨论的思想方法，属于中档题．