Question

16．已知函数f（x）=|x|（x+m）．g（x）=|x|+|x-1|
（1）若f（x）是定义域为R的奇函数，试求实数m的值
（2）在（1）的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）-2a有三个零点，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（x）是定义域为R的奇函数，利用f（0）=0，即可求实数m的值．
（2）利用函数和方程之间的关系将函数转化为两个图象的交点问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：（1）若f（x）是定义域为R的奇函数，
则f（0）=0，即m=0．
（2）∵函数f（x）+g（x）=2a有三个零点，
∴方程f（x）+g（x）=2a有三个解，
即x|x|+|x|+|x-1|=2a，
设$G（x）=f（x）+g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x+1（x＜0）\\{x^2}+1（0≤x＜1）\\{x^2}+2x-1（x≥1）\end{array}\right.$，
画出G（x）的图象可知：
若函数h（x）=f（x）+g（x）-2a有三个零点，
则1＜2a＜2，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜1
故$a∈（\frac{1}{2}，1）$

点评 本题主要考查函数与方程的关系的应用，以及函数奇偶性的应用，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．