Question

4．如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是C₁D的中点，P是棱CC₁所在直线上的动点．则下列四个命题：
①CD⊥PE②EF∥平面ABC₁③${V_{P-{A_1}D{D_1}}}={V_{{D_1}-ADE}}$
④过P可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．
其中正确命题的序号是①②③④（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 根据标榜的结构特征，结合线面垂直的判定与性质，面面平行的判定与性质，锥体的体积公式，直线与平面的夹角等知识点，分别判断4个结论的真假，可得答案．

解答 解：由CD⊥平面BCC₁B₁，PE?平面BCC₁B₁，故①CD⊥PE正确；
连接ED₁，则EF∥BD₁，故EF∥平面ABC₁D₁，故②EF∥平面ABC₁正确；
③${V}_{P-{A}_{1}D{D}_{1}}$=$\frac{1}{6}$${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$，${V}_{{D}_{1}-ADE}$=$\frac{1}{6}$${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$，故③${V_{P-{A_1}D{D_1}}}={V_{{D_1}-ADE}}$正确；
过P做一条与以ABCD为底面的正方体的对角线平行的直线，则该直线与正四棱柱的各个面都成等角．故④正确；
故正确命题的序号为：①③④，
故答案为：①②③④．

点评 本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，面面平行的判定与性质，锥体的体积公式，直线与平面的夹角，是立体几何知识的综合考查，难度中档．