Question

10．已知f（x）=xe^x-ax²-x，a∈R．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对x≥1时，恒有f（x）≥xe^x+ax²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为g（x）=2ax²+x在≤0[1，+∞）恒成立，a=0时，不成立，a＜0时，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x+1）e^x-2ax-1，
当a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）=（x+1）e^x-（x+1）=（x+1）（e^x-1），
当x＞0或x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（0，+∞），单调递减区间为（-1，0）；
（2）若对x≥1时，恒有f（x）≥xe^x+ax²成立，
即g（x）=2ax²+x≤0在[1，+∞）恒成立，
①a=0时，g（x）=x，显然不成立，
②故a＜0，g（x）=2ax²+x开口向下，对称轴x=-$\frac{1}{4a}$，
-$\frac{1}{4a}$＜1即a＜-$\frac{1}{4}$时，g（x）在[1，+∞）递减，
g（x）_min=g（1）=2a+1≤0，解得：a≤-$\frac{1}{2}$；
-$\frac{1}{4}$≤a＜0时，g（x）在[1，-$\frac{1}{4a}$）递增，在（-$\frac{1}{4a}$，+∞）递减，
g（x）_max=g（-$\frac{1}{4a}$）＞0，不成立，
综上：a≤-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．