Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，离心率．

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)已知直线交椭圆C于A，B两点．

①若直线经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足.求证：为定值；

②若，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）根据离心率及焦点坐标可得标准方程.

（2）①设直线方程为，则，，联立直线方程和椭圆方程并消去得到关于的方程，其解为.又根据向量关系得到，利用韦达定理可得此式为定值.

②设，，则，利用换元法可求面积的取值范围，注意讨论分别与坐标轴重合时的情形.

由题设知，，所以，

所以椭圆的标准方程为

①由题设知直线斜率存在，设直线方程为，则.

设，直线代入椭圆得，

所以，，由，知

，

.

②当直线分别与坐标轴重合时，易知.

当直线斜率存在且不为0时，设，，

设，直线代入椭圆得到，

所以，同理，

，

令，则

，

因为，所以，故 ，综上.