Question

设f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数是19，（m、n∈N^*）
（1）求f（x）展开式中x²的系数的最小值．
（2）对f（x）展开式中x²的系数取得最小值时的m、n，求f（x）展开式中x⁷的系数．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x²的系数，将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值
（2）由（1）得到的m，n代入f（x），利用二项展开式的通项公式求出f（x）展开式中x⁷的系数．

解答：解：（1）f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数是19，
则m+n=19，即m=19-n
x²的系数为C_m²+C_n²=C_19-n²+C_n²
=

1

2

(19-n)(18-n)+

1

2

n(n-1)
=(n-

19

2

)2+

323

4

n∈N^*，当n=9或10，x²的系数最小值是81．…（10分）
（2）当n=9，m=10或n=10，m=9时，x⁷的系数C₁₀⁷+C₉⁷=156…（14分）

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题，是一道中档题．