Question

20．若（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展开式中前三项系数成等差数列．求：
（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x的有理项；
（3）展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由条件先求出n=8，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数为1，可得展开式中含x的一次幂的项；
（2）令x的幂指数为整数，求得r的值，即可求得展开式中的有理项．
（3）记第r项系数为T_r，记第k项系数最大，则有T_k≥T_k+1，且T_k≥T_k-1，由此可得展开式中系数最大的项．

解答 解：由题知${C}_{n}^{0}$+$\frac{2}{{2}^{2}}•{C}_{n}^{2}$=2•$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$，
可得n=8或n=1（舍去）．
（1）T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^-r•${x}^{4-\frac{3}{4}r}$．
令4-$\frac{3}{4}$r=1，得r=4，
所以x的一次幂的项为T₅=${C}_{8}^{4}$2^-4x=$\frac{35}{8}$x．
（2）令4-$\frac{3}{4}$r∈Z（r=0，1，2，…，8）所以只有当r=0，4，8时，对应的项才为有理项．有理项为T₁=x⁴，T₅=$\frac{35}{8}$x，T₉=$\frac{1}{256{x}^{2}}$．
（3）记第r项系数为T_r，记第k项系数最大，则有T_k≥T_k+1，且T_k≥T_k-1．
又T_r=${C}_{8}^{r-1}$2^-r+1，于是有$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{k-1}{2}^{-k+1}≥{C}_{8}^{k}{2}^{-k}}\\{{C}_{8}^{k-1}{2}^{-k+1}≥{C}_{8}^{k-2}{2}^{-k+2}}\end{array}\right.$
解得3≤k≤4．
所以系数最大项为第3项T₃=7${x}^{\frac{5}{2}}$和第4项T₄=7${x}^{\frac{7}{4}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．