Question

如图，在四面体ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：
（1）MN∥平面ABD；
（2）若BD⊥DC，MN⊥AD，则BD⊥AC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知M，N是AE，AF的三等分点，得到AM：AE=AN：AF=2：3，得到MN∥EF，所以MN∥BD．利用线面平行的判定定理可证；
（2）由MN⊥AD，得到BD⊥AD，结合BD⊥DC，利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ADC，所以BD⊥AC．

解答： 证明：（1）∵M，N分别是△ABC和△ACD的重心，
∴AM：AE=AN：AC=2：3，
∴MN∥EF，又E，F时BC，CD的中点，
∴EF∥BD，
∴MN∥BD，又MN?平面ABD，BD?平面ABD，
∴MN∥平面ABD；
（2）由（1）知MN∥BD，又MN⊥AD，
∴BD⊥AD，又BD⊥DC，AD∩DC=D
∴BD⊥平面ADC，
∴BD⊥AC．

点评：本题考查了线面平行的判定和线面垂直的判定定理和性质定理的运用，关键时将所证转化为线线关系解决，属于常规题．