Question

给出定义：若m-

1

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＜x≤m+

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2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作（x）=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=log

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2

|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[1，+∞）；
②函数y=f（x）在（-

1

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，0）上是增函数；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数 值域；易判断函数y=f（x）在[-

1

2

，0）上的单调性，判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；根据f（k-x）与f（-x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称；而由④的结论．

解答： 解：由题意令g（x）=x-{x}=x-m，
g（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0时，-

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＜x≤

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，g（x）=|x|，

m=1时，1-

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＜x≤1+

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，g（x）=|x-1|，
m=2时，2-

1

2

＜x≤2+

1

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，g（x）=|x-2|，
由图象可知0≤g(x)≤

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，
所以①不正确；
当x∈（-

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，0），g（x）是减函数，所以f（x）=log

1

2

|x-{x}|是增函数；故②正确；
由图可知③④正确；
故答案为：②③④

点评：本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断命题的真假，我们要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、周期性和单调性的证明方法，对4个结论进行验证．