Question

椭圆x²+

y2

a2

=1（0＜a＜1）上离顶点A（0，a）距离最远的点恰好是另一个顶点A′（0，-a），则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意设出椭圆上点的参数坐标，写出两点间的距离公式，配方后由函数取得最大值的条件可得

a2

1-a2

≥1，从而求得a的取值范围．

解答： 解：设P（cost，asint）是椭圆上任一点，
则|PA|=

cos2t+a2(1-sint)2

=

1-sin2t+a2-2a2sint+a2sin2t

=

-(1-a2)[sint+ a2 1-a2 ]2+ a2 1-a2

．
∵最远的点恰好是另一个顶点（0，-a），
∴当cost=0，sint=-1时取最大值．
则

a2

1-a2

≥1，即a²≥1-a²，解得：a≤-

2

2

或a≥

2

2

．
∴a的取值范围为

2

2

≤a＜1．
故答案为：

2

2

≤a＜1．

点评：本题考查了椭圆的参数方程，考查了函数取得最值的条件，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．