Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4cos²

A-B

2

-4sinAsinB=3．
（1）求C；
（2）若c=2

3

，a+b=ab，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）△ABC中，由条件利用两角和的余弦公式，二倍角公式求得 cos（A+B）=

1

2

，可得cosC=-

1

2

，从而求得C的值．
（2）由条件利用余弦定理求得ab=4，可得△ABC的面积为

1

2

ab•sinC 的值．

解答： 解：（1）△ABC中，∵4cos²

A-B

2

-4sinAsinB=3，∴4×

1+cos(A-B)

2

-4sinAsinB=3，
即 2+2cosAcosB-2sinAsinB=3，即 cos（A+B）=

1

2

，∴cosC=-

1

2

，∴C=

2π

3

．
（2）若c=2

3

，a+b=ab，则由余弦定理可得 12=a²+b²-2ab•cosC=（a+b）²-ab=（ab）²-ab，
求得ab=4，故△ABC的面积为

1

2

ab•sinC=

3

．

点评：本题主要考查两角和的余弦公式，二倍角公式以及余弦定理的应用，属于基础题．