Question

2．设函数f（x）=lnx+a（x²-3x+2），其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＞0，对?x＞1，f（x）≥0成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 解法一：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数，通过讨论a的范围从而求出函数的单调性；
（2）通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出a的最大值即可．
解法二：（1）出函数的定义域，求出函数的导数，通过讨论a的范围从而求出函数的单调性；
（2）先求出函数f（x）的导数，构造函数g（x）=2ax²-3ax+1，求出g（x）的对称轴以及方程g（x）=0的根，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：解法一：
（1）f（x）=lnx+a（x²-3x+2）的定义域为（0，+∞）…（1分），
$f'（x）=\frac{1}{x}+a（2x-3）$=$\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$，
令g（x）=2ax²-3ax+1…（2分）
①当a=0时，g（x）=1，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；     …（3分）
②当a＞0时，△=9a²-8a=a（9a-8）
当$0＜a≤\frac{8}{9}$时，△≤0，g（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；   …（4分）
当$a＞\frac{8}{9}$时，△＞0，g（x）=2ax²-3ax+1=0的两根
为$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，即0＜x₁＜x₂
所以，当x∈（0，x₁）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x₂，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；    …（5分）
③当a＜0时，△=9a²-8a=a（9a-8）＞0，g（x）=2ax²-3ax+1=0的两根
为$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＜0$，即x₂＜0＜x₁
当x∈（0，x₁）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，+∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；    …（6分）
综上：当a＜0时，函数f（x）在（0，x₁）单调递增，函数f（x）在（x₁，+∞）单调递减；
当$0≤a≤\frac{8}{9}$时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当$a＞\frac{8}{9}$时，函数f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）单调递增；函数f（x）在（x₁，x₂）单调递减 …（7分）
（2）由（1）知
①当$0＜a≤\frac{8}{9}$时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
因为f（1）=0，所以x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0，符合题意；   …（8分）
②当$\frac{8}{9}＜a≤1$时，$0＜\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$$＜\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}≤1$，即0＜x₁＜x₂≤1
所以，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
又f（1）=0，所以x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0，符合题意；   …（10分）
③当a＞1时，$0＜\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＜1$$＜\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$，即0＜x₁＜1＜x₂
由f（1）=0，函数f（x）在（x₁，x₂）单调递减，
所以x∈（1，x₂）时，f（x）＜f（1）=0不符合题意，…（11分）
综上所述，a的取值范围是（0，1]，所以a的最大值为1．…（12分）
解法二：
（1）f（x）=lnx+a（x²-3x+2）的定义域为（0，+∞）…（1分），
$f'（x）=\frac{1}{x}+a（2x-3）$=$\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$，令g（x）=2ax²-3ax+1…（2分）
①当a=0时，g（x）=1，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；     …（3分）
②当a＞0时，g（x）=2ax²-3ax+1的对称轴为$x=\frac{3}{4}$
若$g（\frac{3}{4}）≥0$时，即$0＜a≤\frac{8}{9}$，g（x）≥0，f′（x）≥0所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；      …（4分）
若$g（\frac{3}{4}）＜0$时，即$a＞\frac{8}{9}$，g（x）=2ax²-3ax+1=0的两根
为$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，即0＜x₁＜x₂
所以，当x∈（0，x₁）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x₂，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；   …（5分）
③当a＜0时，△=9a²-8a=a（9a-8）＞0，g（x）=2ax²-3ax+1=0的两根
为$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＜0$，即x₂＜0＜x₁
当x∈（0，x₁）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；   …（6分）
综上：当a＜0时，函数f（x）在（0，x₁）单调递增，函数f（x）在（x₁，+∞）单调递减；
当$0≤a≤\frac{8}{9}$时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当$a＞\frac{8}{9}$时，函数f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）单调递增；函数f（x）在（x₁，x₂）单调递减 …（7分）
（2）$f'（x）=\frac{1}{x}+a（2x-3）$=$\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$，因为a＞0
令g（x）=2ax²-3ax+1，g（x）的对称轴$x=\frac{3}{4}$，
①当$g（\frac{3}{4}）≥0$时，即$0＜a≤\frac{8}{9}$，x∈（0，+∞），g（x）≥0，
所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，x＞1，f（x）＞f（1）=0，即$0＜a≤\frac{8}{9}$，对?x＞1，f（x）≥0成立；  …（8分）
②当$g（\frac{3}{4}）＜0$时，即$a＞\frac{8}{9}$，g（x）=2ax²-3ax+1=0的两根为$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，且0＜x₁＜x₂…（9分）
若$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}≤1$，即$\frac{8}{9}＜a≤1$时x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
又f（1）=0，所以x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0，符合题意；    …（10分）
若$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞1$，即a＞1时，$0＜\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＜1$$＜\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$，即0＜x₁＜1＜x₂
由f（1）=0，函数f（x）在（x₁，x₂）单调递减，
所以x∈（1，x₂）时，f（x）＜f（1）=0不符合题意，…（11分）
综上所述，a的取值范围是（0，1]，所以a的最大值为1．…（12分）

点评 本题考察了函数的单调性、最值问题，考察导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．