Question

已知动圆C过定点F（0，1），且与直线l₁：y=-1相切，圆心C的轨迹为E．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）已知直线l₂交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点纵坐标为2，则|PQ|最大值为多少？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设C（a，b），圆半径r=b-（-1）=b+1，将a，b分别换为x，y，能求出圆心C的轨迹方程．
（2）设P（p，

p2

4

），Q（q，

q2

4

），由已知得p²+q²=16，|PQ|²=（p-q）²+（

p2

4

-

q2

4

）²=

1

4

[144-（pq+4）²]，由此能求出|PQ|的最大值为6．

解答： 解：（1）设C（a，b），圆半径r=b-（-1）=b+1，
圆方程：（x-a）²+（y-b）²=（b+1）²
过定点F（0，1）：a²+（1-b）²=（b+1）²
a²=4b
将a，b分别换为x，y，
得圆心C的轨迹为E：x²=4y．
（2）设P（p，

p2

4

），Q（q，

q2

4

），
PQ中点的纵坐标为2：

1

2

（

p2

4

+

q2

4

）=2，
p²+q²=16，①
|PQ|²=（p-q）²+（

p2

4

-

q2

4

）²
=（p-q）²[1+

1

16

（p+q）²]
=（p²+q²-2pq）[1+

1

16

（p²+q²+2pq）]
=（16-2pq）（2+

1

8

pq）
=

1

4

（8-pq）（16+pq）
=

1

4

[144-（pq+4）²]，
pq=-4时，|PQ|²最大，最大值为

144

4

=36，
∴|PQ|的最大值为6．

点评：本题考查动点C的轨迹方程的求法，考查|PQ|最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．