Question

已知函数f（x）=

-x2+4x，(x≥0) ax，  (x＜0)

且f（-1）=2．
（1）求a的值；
（2）写出f（x）的单调区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-m有三个互不相等的零点x₁，x₂，x₃，
①求m的取值范围；
②求x₁+x₂+x₃的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据分段函数的表达式即可求a的值；
（2）根据分段函数的表达式即可写出f（x）的单调区间；
（3）作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（-1）=2，∴f（-1）=-a=2，即a=-2；
（2）当a=-2时，f（x）=

-x2+4x，x≥0 -2x，x＜0

，
作出函数f（x）的图象，
则f（x）的单调增区间为（0，2]，递减区间为（-∞，0]和[2，+∞）．
（3）①若函数g（x）=f（x）-m有三个互不相等的零点x₁，x₂，x₃，
即f（x）=m有三个根，即函数y=f（x）与y=m有三个不同的交点，
则0＜m＜4，即m的取值范围是（0，4）；
②不妨设x₁＜x₂＜x₃，
则x₁＜0，x₂＞0，x₃＞0，且x₂，x₃，关于x=2对称，
则x₂+x₃=2×2=4，
则x₁+x₂+x₃=x₁+4＜4，
即x₁+x₂+x₃的取值范围是（-∞，4）．

点评：本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点的应用，利用数形结合以及二次函数的图象和性质是解决本题的关键．