Question

数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）求证{

1

an

}是等差数列；（要指出首项与公差）；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求证：Tn＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an+1=

an

2an+1

，得：

1

an+1

=

2an+1

an

，由此能证明数列{

1

an

}是以首项

1

a1

=1，公差d=2的等差数列．
（2）由（1）得

1

an

=

1

a1

+(n-1)d=2n-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能证明Tn＜

1

2

．

解答： （1）解：由an+1=

an

2an+1

，得：

1

an+1

=

2an+1

an

∴

1

an+1

=

1

an

+2，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，又a₁=1，∴

1

a1

=1，
∴数列{

1

an

}是以首项

1

a1

=1，公差d=2的等差数列．
（2）解：由（1）得：

1

an

=

1

a1

+(n-1)d=2n-1
∴an=

1

2n-1

．
（3）证明：∵anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=a1a2+a2a3+…+anan+1=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

∴Tn＜

1

2

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．