Question

给出以下命题：①函数f（x）=|log₂x²|既无最大值也无最小值；
②函数f（x）=|x²-2x-3|的图象关于直线x=1对称；
③若函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（x²）的定义域为（-1，1）；
④若函数f（x）满足|f（-x）|=|f（x）|，则函数f（x）或是奇函数或是偶函数；
⑤设定义在R上的函数f（x）满足对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，则函数F（x）=f（x）-x在R上递增．其中正确的命题是

 

．（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：①根据绝对值的性质进行判断；
②根据对称轴的公式进行判断；
③根据查函数的定义域求抽象函数的定义域，进行判断；
④特殊函数常数函数，对其判断；
⑤用定义法判断则函数F（x）=f（x）-x在R上是否为递增；

解答： 解：①∵函数f（x）=|log₂x²|≥0，显然有最小值0，故①错误；
②∵函数f（x）=x²-2x-3，的对称轴x=1，因为函数f（x）=|x²-2x-3|与函数f（x）=x²-2x-3对称轴一样，∴函数f（x）=|x²-2x-3|的图象关于直线x=1对称，故②正确；
③∵函数y=f（x）的定义域是（0，1），∴函数 f（x²）中0＜x²＜1，函数f（x²）的定义域为（-1，0）∪（0，1）．故③不正确
④∵|f（-x）|=|f（x）|，∴f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），∴函数f（x）或是奇函数或是偶函数，故④正确；
⑤∵对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，
∴F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-x₁-f（x₂）+x₂=f（x₁）-f（x₂）-（x₁-x₂）＜0，
∴F（x₁）＜F（x₂），
∴函数F（x）=f（x）-x在R上递增．
故⑤正确；
故正确的命题是②④⑤．
故答案为：②④⑤．

点评：本题主要考查二次函数，以及奇偶函数的性质，用定义法判断函数的增减性，知识点比较多比较全面，是一道小型综合题，难度不是很大