Question

已知直线y=k（x+

1

4

）与曲线y=

x

恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆

x2

16

+

y2

9

=l上一动点，点P₁（x₁，y₁）与点P关于直线y=x+l对称，记

y1-1

4

的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ₁，λ₂，则λ₁＞λ₂的概率是

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：根据直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：∵y=

x

，
∴x=y²，代入y=k（x+

1

4

）得y=k（y²+

1

4

），
整理得ky²-y+

k

4

=0，
直线y=k（x+

1

4

）与曲线y=

x

恰有两个不同交点，
等价为ky²-y+

k

4

=0有两个不同的非负根，
即△=1-k²＞0，且

1

k

＞0，
解得0＜k＜1，
∴A={k|0＜k＜1}．
P₁（x₁，y₁）关于直线y=x+1的对称点为P（y₁-1，x₁+1），
P是椭圆

x2

16

+

y2

9

=l上一动点，
∴-4≤y₁-1≤4，
即-1≤

y1-1

4

≤1，
设b=

y1-1

4

，则-1≤b≤1，
∴B={b|-1≤b≤1}．
∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ₁，λ₂，
则λ₁＞λ₂等价为

0＜λ1＜1 -1≤λ2≤1 λ1＞λ2

，
则对应的图象如图：
则λ₁＞λ₂的概率是

3

4

，
故答案为：

3

4

．

点评：本题主要考查几何概型的概率计算，利用直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B是解决本题的关键．综合性较强，难度非常大．