Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=pn²-2n+q（p，q∈R），n∈N^*．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若a₁与a₅的等差中项为18，b_n满足a_n=2log₂b_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的前n项和Sn，建立方程关系即可求q的值；
（Ⅱ）求出数列的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=p-2+q，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-p（n-1）²+2（n-1）-q=2pn-p-2，
∵{a_n}是等差数列，
∴p-2+q=2p-p-2，∴q=0．
（Ⅱ）依题意a3=

a1+a5

2

，
∴a₃=18．
又a₃=6p-p-2，
∴6p-p-2=18，
∴p=4，∴a_n=8n-6，
又a_n=2log₂b_n，得bn=24n-3，
∴b₁=2，

bn+1

bn

=

24(n+1)-3

24n-3

=2⁴=16，
即{b_n}是等比数列．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

2(1-16n)

1-16

=

2

15

(16n-1)．

点评：本题主要考查数列通项公式的应用以及等比数列的前n项和Sn的计算，要求熟练掌握相应的公式．