【题目】如图1,在直角梯形中,
,
,且
.现以
为一边向形外作正方形
,然后沿边
将正方形
翻折,使平面
与平面
垂直,
为
的中点,如图2.
(1)求证:平面
;
(2)求证:平面
;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)取EC中点N,连接MN,BN,证明BN∥AM.说明BN平面BEC,且AM平面BEC,即可证明AM∥平面BEC;
(2)先证明ED⊥BC,BC⊥BD,ED∩BD=D,即可证明BC⊥平面BDE;
(3)利用VE-BCD=VD-BCE,求出底面DCB的面积,高为DE,即可求三棱锥D-BCE的体积.
证明:取中点
,连结
.
在△中,
分别为
的中点,
所以∥
,且
.
由已知∥
,
, 所以
∥
,且
.
又因为平面
,且
平面
, 所以
∥平面
.
(2)证明:在正方形中,
.
又因为平面
平面
,且平面
平面
,
所以平面
,又
平面
,所以
.
在直角梯形中,
,
,可得
.
在△中,
, 所以
.
所以, 所以
平面
.
(3)由(2)知,,
所以
又因为平面
,所以
=
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【题目】如图,平面平面
,四边形
和
是全等的等腰梯形,其中
,且
,点
为
的中点,点
是
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)请在图中所给的点中找出两个点,使得这两点所在的直线与平面垂直,并给出证明;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得
平面
?如果存在,求出
的长度;如果不存在,请说明理由.
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【题目】某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了人,回答问题计结果如下图表所示:
(1)分别求出的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆方程;
(2)设不过原点的直线
,与该椭圆交于
两点,直线
的斜率依次为
,满足
,试问:当
变化时,
是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是请说明理由.
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
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【题目】已知菱形ABCD如图(1)所示,其中∠ACD=60°,AB=2,AC与BD相交于点O,现沿AC进行翻折,使得平面ACD⊥平面ABC,取点E,连接AE,BE,CE,DE,使得线段BE再平面ABC内的投影落在线段OB上,得到的图形如图(2)所示,其中∠OBE=60°,BE=2.
(Ⅰ)证明:DE⊥AC;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值.
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