Question

3．函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx．
（1）讨论f（x）单调性；
（2）若f（x）恰有两个零点，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，求出函数的零点，再进行分类讨论，从而可确定函数y=f（x）的单调性与单调区间．
（2）由（1）的结论，结合根的存在性原理，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（1+a）+x=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a
①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜a或x＞1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得a＜x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
②当a=1时，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；
③当a＞1时，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜1或x＞a；
令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜a
∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）；
④a≤0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
（2）由（1），当a=1时，显然不成立，
当a＞1时，由于极大值f（a）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，∴也不成立，
当0＜a＜1时，极大值f（a）=-$\frac{1}{2}$a²-a+alna＜0，也不成立，
当a≤0时，f（x）在x=1处取得极小值，
又当x→0时，或x→+∞时，都有g（x）→+∞，
∴f（1）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，解得-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
综上所述a的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，0）

点评 本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，及根的存在性原理的运用，利用导数的正负确定函数的单调性是关键，属于中档题．