Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（

x

y

）=f（x）-f（y）
（1）求f（1）的值，
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

3

）＜2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（1）的值，
（2）若f（6）=1，结合抽象函数将不等式f（x+3）-f（

1

3

）＜2进行转化，结合函数的单调性解不等式即可．

解答： 解：（1）在f（

x

y

）=f（x）-f（y）中，
令x=y=1，则有f（1）=f（1）-f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），
∴不等式f（x+3）-f（

1

3

）＜2
等价为不等式f（x+3）-f（

1

3

）＜f（6）+f（6），
∴f（3x+9）-f（6）＜f（6），
即f（

x+3

2

）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴

x+3＞0 x+3 2 ＜6

，解得-3＜x＜9，
即不等式的解集为（-3，9）．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性将不等式进行转化是解决本题的关键．