Question

已知一次函数f（x）=2x-b，幂函数g（x）=x^a，且知函数f（x）•g（x）的图象过（1，2），函数

g(x)

f(x)

的图象过（

2

，1），若函数h（x）=g（x）+f（x）．
（1）求函数h（x）的解析式；
（2）若x∈[-3，-

3

]，求y=

h(x)

x2

的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件，求出a，b的值，即可求函数h（x）的解析式；
（2）若x∈[-3，-

3

]，求处y=

h(x)

x2

的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可求出函数的最小值．

解答： 解：（1）∵一次函数f（x）=2x-b，幂函数g（x）=x^a，且知函数f（x）•g（x）的图象过（1，2），
∴f（1）•g（1）=（2-b）•1=2，解得b=0，
则f（x）=2x，
∵

g(x)

f(x)

的图象过（

2

，1），
∴

g( 2 )

f( 2 )

=

( 2 )a

2 2

=1，
即（

2

）^a=2

2

，
解得a=3，则g（x）=x³，
则h（x）=g（x）+f（x）=2x+x³；
（2）若x∈[-3，-

3

]，
则y=

h(x)

x2

=

2x+x3

x2

=

2

x

+x，
函数的导数为y′=1-

2

x2

=

x2-2

x2

，
则当x∈[-3，-

3

]时，y′＞0，
此时函数单调递增，
故函数y=

h(x)

x2

的最小值为-

2

3

-3=-

11

3

．

点评：本题主要考查函数解析式的求解以及函数最值的求解，利用条件求出a，b的值是解决本题的关键．