Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB=AB=AD=1，BC=2．
（1）求SA与CD成角；
（2）求面SCD与面SAB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BS为z轴，建立空间直角坐标系，由向量法能求出SA与CD所成角．
（Ⅱ）求出平面SCD的法向量和平面SAB的一个法向量，由此利用向量法能求出面SCD与面SAB所成的锐二面角余弦值．

解答： 解：（Ⅰ） 如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BS为z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），S（0，0，1），A（1，0，0），
C（0，2，0），D（1，1，0），

SA

=（1，0，-1），

CD

=（1，-1，0），
设SA与CD所成角为α，
则cosα=|cos＜

SA

，

CD

＞|=

| SA • CD |

| SA |•| CD |

=

1

2

，
所以SA与CD所成角为60°，
（Ⅱ）

SC

=（0，2，-1），

SD

=（1，1，-1），
设平面SCD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • SC =2y-z=0 n • SD =x+y-z=0

，令y=1，则

n

=（1，1，2），
又因为BC⊥平面SAB，所以平面SAB的一个法向量为

BC

=（0，2，0），
设面SCD与面SAB所成的锐二面角为θ，
所以面SCD与面SAB所成的锐二面角余弦值为：
cosθ=

| n • BC |

| n |•| BC |

=

2

2 6

=

6

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．