Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1．
（1）求二面角A-DF-B的大小；
（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为60°．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以

CD

，

CB

，

CE

为正交基底，建立空间直角坐标系，求出平面ADF的法向量和平面DFB的法向量，利用向量法能求出二面角A-DF-B的大小．
（2）设P（a，a，0），（0≤a≤

2

），则

PF

=（

2

-a，

2

-a，1），

CB

=（0，

2

，0），PF与BC所成的角为60°，利用向量法能求出点P在线段AC的中点处．

解答： 解：（1）如图，以

CD

，

CB

，

CE

为正交基底，建立空间直角坐标系，
则E（0，0，1），D（

2

，0，0），
B（0，

2

，0），F（

2

，

2

，1），
平面ADF的法向量

m

=（1，0，0），

BD

=（

2

，-

2

，0），

BF

=（

2

，0，1），
设平面DFB的法向量

n

=（a，b，c），
则

n • BD = 2 a- 2 b=0 n • BF = 2 a+c=0

，取a=1，得

n

=（1，1，-

2

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

，
∵二面角A-DF-B的平面角是锐角，
∴二面角A-DF-B的大小为60°．
（2）解：由题意，设P（a，a，0），（0≤a≤

2

），
则

PF

=（

2

-a，

2

-a，1），

CB

=（0，

2

，0），
∵PF与BC所成的角为60°，
∴cos60°=|cos＜

PF

，

BC

＞|=

| PF • BC |

| PF |•| BC |

=

1

2

，
解得a=

2

2

或a=

3 2

2

（舍），
∴点P在线段AC的中点处．

点评：本题考查二面角的大小的求法，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．