Question

已知关于x方程x³+ax²+bx+c=0的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线的离心率，则

b

a

的取值范围（　　）

• A、（-2，-

  1

  2

  ）
• B、（-2，-1）
• C、（-1，-

  1

  2

  ）
• D、（-∞，-

  1

  2

  ）

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,双曲线的简单性质

专题：不等式的解法及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线的离心率为1，求得a，b和c的关系代入函数解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b椭圆和双曲线的离心率的范围确定两根的范围确定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用线性规划求得

b

a

的范围．

解答： 解：由抛物线的离心率为1，可得1+a+b+c=0，
即有c=-1-a-b，代入f（x）=x³+ax²+bx+c，
即f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b
=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）
=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]，
设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，
则g（x）=0的两根满足0＜x₁＜1，x₂＞1，
即有g（0）=1+a+b＞0且g（1）=3+2a+b＜0，
如图，作出点（a，b）满足的可行域，
即为图中斜线部分（不含边界），

b

a

=

b-0

a-0

表示（a，b）与原点的斜率，
求得P（-2，1），
由于OP的斜率为-

1

2

，
由图象可得-2＜

b

a

＜-

1

2

．
故选A．

点评：本题主要考查了函数的零点和根的分布，圆锥曲线的共同特征，线性规划的基础知识．考查基础知识的综合运用．