Question

抛物线y²=4ax及直线x=x₀（x₀＞0）所围成的图形绕y轴旋转一周而成的几何体体积为

 

．

Answer 1

考点：定积分的简单应用,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：导数的综合应用

分析：由旋转体的体积公式进行求解即可．

解答： 解：∵抛物线y²=4ax及直线x=x₀（x₀＞0），
∴a＞0，
当x=x₀时，y²=4ax₀得，y=±

4ax0

=±2

ax0

，
根据旋转体的体积公式得所得几何体的体积B=π•(x0)2•(2

4ax0

)-2

∫

2 ax0 0

π(

y2

4a

)dy
=4πx02•

ax0

-2

∫

2 ax0 0

π•

y4

16a2

dy
=4πx02•

ax0

-2（

1

5×16a2

πy⁵|

2 ax0 0

）
=4πx02•

ax0

-2×

1

80a2

×π（2

ax0

）⁵=4πx02•

ax0

-

4

5

×πx02•

ax0

=

6

5

πx02•

ax0

，
故答案为：

6

5

πx02•

ax0

点评：本题主要考查空间旋转体的条件的计算，根据定积分的应用，结合积分的运算公式是解决本题的关键．